Trigonometria

1 Què és un triangle rectangle?

Mira al teu voltant: Una cantonada d'un full de paper, la cantonada d'una porta, una escala recolzada a una paret... tots formen triangles rectangles!

Un triangle rectangle té un angle de exactament 90° (angle recte, com una "L"). Les seves parts són:

Catets (a, b): Els dos costats que formen l'angle recte (els costats de la "L").
Hipotenusa (c): El costat més LLARG, el que està enfront de l'angle recte. SEMPRE és el més gran!

Recorda!

La hipotenusa SEMPRE és el costat més llarg i SEMPRE està davant de l'angle de 90°. Mai et pots equivocar si busques el costat més gran!

2 Teorema de Pitàgores

Imagina això: Si dibuixes un QUADRAT a cada costat del triangle, el quadrat gran (de la hipotenusa) té la mateixa àrea que els dos quadrats petits (dels catets) junts!

c² = a² + b²

O també: hipotenusa² = catet² + catet²

Exemple pas a pas: Catets a = 3 i b = 4. Troba la hipotenusa.

Pas 1: c² = a² + b² = 3² + 4²

Pas 2: c² = 9 + 16 = 25

Pas 3: c = √25 = 5

Hipotenusa = 5

També serveix per trobar un catet!

Si coneixes la hipotenusa (c=13) i un catet (a=5):

b² = c² − a² = 169 − 25 = 144 → b = √144 = 12

Error comú

NO sumis els costats directament! c ≠ a + b. Has de sumar els QUADRATS i després fer l'arrel quadrada.

Incorrecte: 3 + 4 = 7 | Correcte: √(9+16) = √25 = 5

3 Funcions trigonomètriques: SOH-CAH-TOA

Truc màgic — SOH-CAH-TOA: Aquesta paraula màgica t'ajuda a recordar les tres funcions. Repeteix-la fins que la recordis: SOH - CAH - TOA

Què vol dir SOH-CAH-TOA?

SOH → Sinus = Oposat / Hipotenusa
CAH → Cosinus = Adjacent / Hipotenusa
TOA → Tangent = Oposat / Adjacent

Sinus (sin) — SOH

sin(α) = Catet oposat ÷ Hipotenusa

Cosinus (cos) — CAH

cos(α) = Catet adjacent ÷ Hipotenusa

Tangent (tan) — TOA

tan(α) = Catet oposat ÷ Catet adjacent

4 Angles especials: 30°, 45°, 60°

Aquests tres angles apareixen constantment. Val la pena aprendre els seus valors de memòria:

Angle	sin	cos	tan	Descripció
30°	0,500	0,866	0,577	Triangle meitat d'equilàter
45°	0,707	0,707	1,000	Triangle isòsceles: catets iguals!
60°	0,866	0,500	1,732	Triangle meitat d'equilàter (l'altre angle)

Trucs per recordar la taula:

sin(30°) = 0,5 → La meitat! Fàcil de recordar.
sin i cos de 45° → Són iguals! (0,707)
tan(45°) = 1 → Oposat i adjacent són iguals, i dividir algo entre si mateix dóna 1.
sin(30°) = cos(60°) → Són "complementaris" (sumen 90°). Sempre funciona: sin(x) = cos(90°−x)

5 Exemple de la vida real

Quina alçada té un arbre si l'ombra fa 5 m i l'angle del sol és 60°?

Pas 1: Identifica: catet oposat = alçada (?), catet adjacent = ombra (5m), angle = 60°

Pas 2: Necessitem oposat i adjacent → usem tangent (TOA!)

Pas 3: tan(60°) = oposat / adjacent → 1,732 = alçada / 5

Pas 4: alçada = 5 × 1,732 = 8,66 metres

Errors comuns en trigonometria

1. Confondre "oposat" i "adjacent" → Depèn de QUIN angle mires! L'oposat és el costat que està ENFRONT de l'angle.

2. Oblidar que la calculadora ha d'estar en GRAUS (no radians).

3. Usar Pitàgores quan necessites trigonometria (i al revés). Pitàgores: quan tens 2 costats. Trigo: quan tens 1 costat + 1 angle.

1 Què és un triangle rectangle?

2 Teorema de Pitàgores

3 Funcions trigonomètriques: SOH-CAH-TOA

4 Angles especials: 30°, 45°, 60°

5 Exemple de la vida real

Practica