Polinomis i Identitats Notables
Monomis, grau, operacions, identitats notables i Ruffini
1 Monomis
Un monomi es un producte de nombres i lletres (variables) amb exponents naturals.
Exemple: 3x2y → coeficient: 3, part literal: x2y
El grau d'un monomi es la suma dels exponents de les seves variables.
Exemples:
5x3 → coeficient = 5, grau = 3
-2x2y → coeficient = -2, grau = 2+1 = 3
7 → coeficient = 7, grau = 0 (es una constant)
2 Polinomis i operacions
Un polinomi es una suma de monomis. El grau del polinomi es el grau del monomi de grau mes alt.
P(x) = 3x3 - 2x2 + 5x - 1 (grau 3)
Operacions basiques:
- Suma/Resta: Sumem o restem monomis semblants (mateixa part literal).
- Producte per un monomi: Multipliquem cada terme pel monomi (propietat distributiva).
- Producte de polinomis: Cada terme del primer per cada terme del segon.
Exemple suma:
(3x2 + 2x - 1) + (x2 - 4x + 5) = 4x2 - 2x + 4
3 Identitats notables
Les identitats notables son productes que apareixen molt sovint i convé aprendre de memoria.
Quadrat d'una suma
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrat d'una diferencia
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Suma per diferencia
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Exemples numerics:
(3 + 5)2 = 9 + 30 + 25 = 64 (comprova: 82 = 64)
(7 - 2)2 = 49 - 28 + 4 = 25 (comprova: 52 = 25)
(6 + 4)(6 - 4) = 36 - 16 = 20 (comprova: 10 × 2 = 20)
Truc visual per (a+b)2: Pensa en un quadrat de costat (a+b). La seva area es: a2 (un quadrat) + 2ab (dos rectangles) + b2 (un altre quadrat).
4 Regla de Ruffini
La regla de Ruffini permet dividir un polinomi per (x - c) de forma rapida i senzilla.
Pas a pas: Dividir P(x) = 2x3 - 3x2 + 0x + 5 entre (x - 2):
1. Escrivim els coeficients: 2, -3, 0, 5 i a sota el valor c = 2
2. Baixem el primer coeficient: 2
3. Multipliquem per c: 2 × 2 = 4, sumem amb -3: 1
4. Multipliquem per c: 1 × 2 = 2, sumem amb 0: 2
5. Multipliquem per c: 2 × 2 = 4, sumem amb 5: 9
Resultat: Q(x) = 2x2 + x + 2, residu = 9
Teorema del residu: El residu de dividir P(x) entre (x - c) es P(c). Si P(c) = 0, llavors (x - c) es un factor del polinomi i c es una arrel.
Practica
Encerts: 0
Errors: 0
Total: 0