Matrius i Determinants
Definicio, operacions, determinants 2x2 i 3x3, regla de Sarrus
1 Definicio de matriu
Una matriu es una taula rectangular de nombres organitzats en files i columnes. Una matriu de m files i n columnes es una matriu m×n.
Tipus especials:
- Quadrada: m = n (mateixa quantitat de files i columnes)
- Identitat (I): Matriu quadrada amb 1 a la diagonal i 0 a la resta
- Nul·la (O): Tots els elements son 0
- Transposada (AT): Intercanviem files per columnes
2 Operacions amb matrius
Suma: Sumem element a element (mateixes dimensions).
Producte per escalar: Multipliquem cada element pel nombre.
Producte de matrius: A(m×n) · B(n×p) = C(m×p). Cada element cij es la suma dels productes de la fila i d'A per la columna j de B.
cij = ∑ aik · bkj (k = 1..n)
Exemple producte escalar:
3 · [2, -1; 4, 0] = [6, -3; 12, 0]
Important: El producte de matrius NO es commutatiu: A·B ≠ B·A en general.
3 Determinants
El determinant es un nombre associat a una matriu quadrada.
Determinant 2×2:
det(A) = a·d - b·c
Exemple: A = [3, 2; 1, 4] → det(A) = 3·4 - 2·1 = 12 - 2 = 10
Determinant 3×3 (Regla de Sarrus):
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Regla de Sarrus: Copiem les dues primeres columnes a la dreta. Sumem els productes de les diagonals descendents i restem els de les ascendents.
4 Matriu inversa
La matriu inversa A-1 es aquella que compleix A · A-1 = I. Nomes existeix si det(A) ≠ 0.
Per a matrius 2×2:
A-1 = (1/det(A)) · [d, -b; -c, a]
Exemple: A = [3, 2; 1, 4], det = 10
A-1 = (1/10) · [4, -2; -1, 3] = [0.4, -0.2; -0.1, 0.3]
Practica
Encerts: 0
Errors: 0
Total: 0