Formulari - Matematiques

1 Aritmetica

Maxim Comu Divisor (MCD)

MCD(a, b) = producte dels factors primers comuns amb el menor exponent

Tambe es pot calcular amb l'algorisme d'Euclides: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b)

Minim Comu Multiple (MCM)

MCM(a, b) = (a × b) / MCD(a, b)

Producte de tots els factors primers amb el major exponent.

Propietats de les potencies

a^m × aⁿ = a^m+n
a^m / aⁿ = a^m−n
(a^m)ⁿ = a^m×n
a⁰ = 1 (a ≠ 0)
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Arrels

√a = a^1/2
ⁿ√a = a^1/n
√(a × b) = √a × √b
√(a / b) = √a / √b

2 Algebra

Identitats notables

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²

Equacio de 1r grau

ax + b = 0 ⇒ x = −b / a

Equacio de 2n grau

ax² + bx + c = 0

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Discriminant: Δ = b² − 4ac

Δ > 0: dues solucions reals • Δ = 0: una solucio doble • Δ < 0: sense solucio real

Logaritmes

log_a(x × y) = log_ax + log_ay
log_a(x / y) = log_ax − log_ay
log_a(xⁿ) = n × log_ax
log_ax = log_bx / log_ba (canvi de base)
log_aa = 1 • log_a1 = 0

3 Geometria 2D

Quadrat

A = l² • P = 4l

l = costat

Rectangle

A = b × h • P = 2(b + h)

b = base, h = altura

Triangle

A = (b × h) / 2 • P = a + b + c

Formula de Heron: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), on s = (a+b+c)/2

Cercle

A = πr² • C = 2πr

r = radi, π ≈ 3,14159

Trapezi

A = ((B + b) × h) / 2

B = base major, b = base menor, h = altura

4 Geometria 3D

Cub

V = l³ • S = 6l²

l = aresta

Prisma

V = A_base × h

A_base = area de la base, h = altura

Cilindre

V = πr²h • S_lat = 2πrh

Con

V = (πr²h) / 3 • S_lat = πr√(r² + h²)

Esfera

V = (4/3)πr³ • S = 4πr²

5 Trigonometria

Definicions basiques

sin α = catet oposat / hipotenusa
cos α = catet adjacent / hipotenusa
tan α = catet oposat / catet adjacent = sin α / cos α

Valors notables

α	30°	45°	60°	90°
sin α	1/2	√2/2	√3/2	1
cos α	√3/2	√2/2	1/2	0
tan α	√3/3	1	√3	—

Teorema de Pitagores

a² + b² = c²

c = hipotenusa, a i b = catets

Llei dels sinus i cosinus

a / sin A = b / sin B = c / sin C

c² = a² + b² − 2ab × cos C

Identitat fonamental

sin²α + cos²α = 1

6 Estadistica

Mitjana aritmetica

x̄ = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n = Σx_i / n

Mediana

Si n senar: Me = x_(n+1)/2
Si n parell: Me = (x_n/2 + x_n/2+1) / 2

Les dades han d'estar ordenades de menor a major.

Moda

Mo = valor que mes es repeteix

Pot haver-hi una moda (unimodal), diverses (multimodal) o cap (amodal).

Varianca

σ² = Σ(x_i − x̄)² / n

Desviacio tipica

σ = √(Σ(x_i − x̄)² / n)

Arrel quadrada de la varianca. Com mes gran, mes dispersio.

7 Probabilitat

Regla de Laplace

P(A) = casos favorables / casos possibles

Permutacions

P(n) = n!

Nombre d'ordenacions possibles de n elements.

Variacions

V(n, r) = n! / (n − r)! (sense repeticio)
VR(n, r) = n^r (amb repeticio)

Grups ordenats de r elements extrets de n.

Combinacions

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)

Grups NO ordenats de r elements extrets de n.

Propietats basiques

P(A̅) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (si independents)

8 Derivades

Regles de derivacio

(f + g)' = f' + g'
(k × f)' = k × f'
(f × g)' = f' × g + f × g'
(f / g)' = (f' × g − f × g') / g²
(f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x) (regla de la cadena)

Taula de derivades comunes

f(x)	f'(x)
k (constant)	0
xⁿ	n × xⁿ⁻¹
√x	1 / (2√x)
1/x	−1 / x²
e^x	e^x
a^x	a^x × ln a
ln x	1 / x
log_a x	1 / (x × ln a)
sin x	cos x
cos x	−sin x
tan x	1 / cos²x = 1 + tan²x

9 Integrals

Regles d'integracio

∫ k × f(x) dx = k × ∫ f(x) dx
∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (Teorema fonamental)

Taula d'integrals comunes

f(x)	∫ f(x) dx
k	kx + C
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹ / (n+1) + C
1/x	ln \|x\| + C
e^x	e^x + C
a^x	a^x / ln a + C
sin x	−cos x + C
cos x	sin x + C
1/cos²x	tan x + C
1/√(1 − x²)	arcsin x + C
1/(1 + x²)	arctan x + C

Formulari de Matematiques